Родился в 1908 году в селе Хилок-Тагалцар (Ноехон, Тухум) Селенгинского района Бурят-Монгольской АССР. В начале войны был призван в ряды Красной Армии. Служил на станции Хара-Нур и на 74 разъезде Читинской области. В январе 1943 года был отправлен на станцию Бологой под Ленинградом. В июне 1943 г. их перебросили на Степной фронт. Он участник освобождения г. Белгород, тогда же и был ранен. После лечения был направлен на Ленинградский фронт. Служил минером, и в составе батальона дошел до Берлина. Имеет награды: орден Красной звезды, орден Славы 3 степени, орден «За отвагу», Отечественной войны 2 степени, метали «За взятие Варшавы», «За взятие Берлина», «За Победу над Германией», «40-летию Победы на фашистской Германией», награжден вторым орденом Отечественной войны 2 степени.
Братья и сестры Будажапова Амура Будажаповича:
Улзы, Бадма, Дулма.
Сын Будажапов Даша Амурович, 1928, его жена Зодбоева Цыцыгма Дандаровна, 1927.
У них 8 детей.